Question

如圖，圓⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），∠CAB=90°，AC=AB，頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到x軸的負(fù)半軸上時(shí)，試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)直線AB與⊙O相切時(shí)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,切線的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，求出OM的長(zhǎng)，與半徑比較得出位置關(guān)系．
（2）相切時(shí)有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）直線BC與⊙O相切；
如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，
∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=

2

，
∵⊙O的半徑為1，
∴直線BC與⊙O相離；

（2）①當(dāng)點(diǎn)A位于第一象限時(shí)（如右圖2）：
連接OA，并過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，
∵直線AB與⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴點(diǎn)O、A、C在同一條直線上
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=

1

2

OB=1．
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）；

②當(dāng)點(diǎn)A位于第四象限時(shí)（如右圖3）：
過(guò)點(diǎn)作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵AB是切線，
∴OA⊥AB，
∵∠OAB=90°，
∴點(diǎn)O與點(diǎn)C重合，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、直線與圓的位置關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．