Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，已知A（0，8）、C（10，0）．作∠AOC的角平分線交AB于點D，連接DC，過D作DE⊥DC交OA于點E．
（1）求點D的坐標；
（2）求證：△ADE≌△BCD；
（3）拋物線y=

1

5

x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、C兩點，連接AC．
探索：若點P是x軸下方拋物線上一動點，過點P作平行于y軸的直線交AC于點M．是否存在點P，使線段MP的長度有最大值？若存在，求出點P的坐標，此時，四邊形EPCD的面積是多少？若不存在，請你說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得出∠ADO=∠DOC，以及∠AOD=∠ADO，進而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定方法（ASA）即可得出答案；
（3）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進而AC所在直線函數(shù)解析式，表示出PM的長，得出P點坐標，進而得出S_△EPC=

1

2

×4×10=20，S_△EDC=

1

2

ED×CD=

1

2

×68=34，即可得出答案．

解答：（1）解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC，
∵四邊形AOCB是矩形，∴AB∥OC
∴∠ADO=∠DOC，∴∠AOD=∠ADO
∴OA=AD=8，
∴D點坐標為（8，8）；

（2）證明：∵四邊形AOCB是矩形，∴BC=OA
又∵AO=AD，∴AD=BC
∵DE⊥DC，∴∠EDC=90°
∴∠ADE+∠BDC=90°
∵∠BCD+∠BDC=90°
∴∠ADE=∠BCD     
在△ADE和△BCD中

∠EAB=∠B AD=BC ∠ADE=∠BCD

∴△ADE≌△BCD（ASA）；

（3）解：存在
∵拋物線的圖象過點A（0，8），C（10，0）兩點

c=8 20+10b+c=0

，
∴

b=- 14 5 c=8

，
∴y=

1

5

x2-

14

5

x+8，
點P是x軸下方的拋物線上一動點
∴設P點坐標為 （t，

1

5

t2-

14

5

t+8）（4＜t＜10）
設AC所在直線函數(shù)關系式為y=kx+m，
∵A（0，8），C（10，0）
∴

m=8 10k+8=0

解得：

m=8 k=- 4 5

∴AC所在直線函數(shù)解析式為：y=-

4

5

x+8，
∵PM∥y軸
設M（t，-

4

5

t+8）
PM=-

4

5

t+8-（

1

5

t2-

14

5

t+8）
=-

1

5

t2+2t
=-

1

5

(t2-10t)
=-

1

5

(t-5)2+5
∵4＜t＜10，∴當t=5時，PM_最大值=5
∴所求的P點坐標為 （5，-1）
連接PC、EP，則S_{四邊形EPCD}=S_△EDC+S_△EPC，
∵E（0，6），C（10，0），
設直線EC的解析式為：y=ex+d，
∴

d=6 10e+d=0

，
解得：

e=- 3 5 d=6

，
∴EC的解析式為y=-

3

5

x+6，
過P作PN⊥x軸交EC于N，
∴N（5，3），∴PN=4，
S_△EPC=

1

2

×4×10=20，
∵ED=CD=

AD2+AE2

=

68

，
而S_△EDC=

1

2

ED×CD=

1

2

×68=34，
∴S_{四邊形EPCD}=54．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)以及二次函數(shù)解析式和三角形面積求法等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出S_{四邊形EPCD}=S_△EDC+S_△EPC是解題關鍵．