Question

2．已知△ABC，點D，E分別在邊AB，AC上，分別過A，D，E作BC的垂線，垂足為H，F(xiàn)，G．
（1）如圖1，若AB=AC，BD=AE，求證：AH=DF+EG；
（2）如圖2，若$\frac{BD}{BA}$=$\frac{AE}{AC}$，請猜想AH，DF，EG之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過E作EM⊥AH于M，得到四邊形EMHG是矩形，于是得到MH=EG，通過△DBF≌△AME，得到AM=DF，等量代換即可得到結(jié)論．
（2）由于DF⊥BC，AH⊥BC，EG⊥BC，得到DF∥AH∥EG，推出△BDF∽△ABH，△CEG∽△ACH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AH}$，$\frac{CE}{AC}=\frac{EG}{AH}$，推出1-$\frac{AE}{AC}$=$\frac{EG}{AH}$，
等量代換得到1-$\frac{DF}{AH}=\frac{EG}{AH}$，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1，過E作EM⊥AH于M，
∵AH⊥BC，EG⊥BC，
∴∠EMH=∠MHG=∠EGH=90°，
∴四邊形EMHG是矩形，
∴MH=EG，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=∠AME=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAH=∠CAH，
∵DF⊥BC，AH⊥BC，
∴DF∥AH，
∴∠BDH=∠BAH=∠EAM，
在△DBF與△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠EAM}\\{∠DFB=∠AME}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△AME，
∴AM=DF，
∵AH=AM+HM，
∴AH=DF+EG；

（2）答：AH=DF+EG；
證明：∵DF⊥BC，AH⊥BC，EG⊥BC，
∴DF∥AH∥EG，
∴△BDF∽△ABH，△CEG∽△ACH，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AH}$，$\frac{CE}{AC}=\frac{EG}{AH}$，
∵CE=AC-AE，
∴$\frac{AC-AE}{AC}=\frac{EG}{AH}$，
∴1-$\frac{AE}{AC}$=$\frac{EG}{AH}$，
∵$\frac{BD}{BA}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{DF}{AH}=\frac{AE}{AC}$，
∴1-$\frac{DF}{AH}=\frac{EG}{AH}$，
∴AH=DF+EG．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．