Question

4．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，點B、D分別在射線AN、AM上．
（1）如圖（1），若∠ABC=∠ADC=90°，求證：①DC=BC；②AD+AB=AC．
（2）如圖（2），若∠ABC+∠ADC=180°，（1）中的結論①、②是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DC=BC，②根據(jù)角平分線的定義求出∠BAC=∠DAC=60°，然后求出∠ACB=∠ACD=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AB=$\frac{1}{2}$AC，AD=$\frac{1}{2}$AC，從而得證；
（2）過點C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，根據(jù)同角的補角相等求出∠ABC=∠CDF，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CE=CF，然后利用“角角邊”證明△BCE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DC=BC，BE=DF，從而求出AD+AB=AE+AF，然后根據(jù)（1）的結論得證．

解答 證明：（1）①∵AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DC=BC，
②∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠BAC=∠DAC=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ACD=90°-60°=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC，AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AB+AD=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$AC=AC，
即AD+AB=AC；

（2），（1）中的結論①、②仍然成立．
理由如下：如圖，過點C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△BCE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠CDF}\\{∠BEC=∠DFC=90°}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DC=BC，BE=DF，
∴AD+AB=AD+AE+BE=AD+AE+DF=AF+AE，
即AD+AB=AE+AF，
由（1）的結論可知AE+AF=AC，
即AD+AB=AC，
綜上所述，（1）中的結論①、②仍然成立．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，難點在于（2）作輔助線構造出全等三角形．