Question

1．幾何模型：
條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個定點．
問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最�。�
方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連結(jié)A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最�。ú槐刈C明）．
模型應(yīng)用：
（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連結(jié)BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱．連結(jié)ED交AC于P，則PB+PE的最小值是$\sqrt{5}$；
（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；
（3）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，連接ED交AC于點P，此時PB+PE最小值是ED的長度，由勾股定理即可求出ED的長為$\sqrt{5}$；
（2）延長AO交⊙O于點D，連接DC，AC，此時PA+PC的最小值為DC的長度，利用勾股定理即可求出DC的長度為$2\sqrt{3}$；
（3）要求△PQR周長的最小值，即求PR+QR+PQ的最小值即可，作點C，使得點P與點C關(guān)于OB對稱，作點D，使得點P與點D關(guān)于OA對稱，連接OC、OD、CD，CD交OA、OB于點Q、R，此時PR+QR+PQ最小，且PR+QR+PQ=CD，即求出CD的長即可．

解答 解：（1）由題意知：連接ED交AC于點P，
此時PB+PE最小，最小值為ED，
∵點E是AB的中點，
∴AE=1，
由勾股定理可知：ED²=AE²+AD²=5，
∴ED=$\sqrt{5}$，
∴PB+PE的最小值為$\sqrt{5}$；

（2）延長AO交⊙O于點D，連接DC，AC，
∴AD=4，
∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC=OA=2，
∵AD是⊙O直徑，
∴∠ACD=90°，
∴由勾股定理可求得：CD=2$\sqrt{3}$，
∴PA+PC的最小值為2$\sqrt{3}$；

（3）作點C，使得點P與點C關(guān)于OB對稱，
作點D，使得點P與點D關(guān)于OA對稱，
連接OC、OD、CD，CD交OA、OB于點Q、R，
此時PR+RQ+PQ最小，最小值為CD的長，
∵點P與點C關(guān)于OB對稱，
∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，
同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，
∵∠BOP+∠POA=45°，
∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，
由勾股定理可知：CD=10$\sqrt{2}$，
∴△PQR周長的最小值為10$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的軸對稱的性質(zhì)，涉及圓周角定理，軸對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，考查學(xué)生綜合運用知識的能力．