Question

如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，點(diǎn)G，H分別為AD，BC的中點(diǎn)，GH與BD交于點(diǎn)O，試證明EF和GH互相平分．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：由平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明△ABE≌△CDF，可得BE=DF，由條件可證明GO=HO，可證得結(jié)論．

解答：證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，

∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
又∵OB=OD，
∴OB-BE=OD-BF，即OE=OF，
又∵G，H分別為AD，BC的中點(diǎn)，
∴OG=OH=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴EF和GH互相平分．

點(diǎn)評：本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩組對邊分別平行的四邊形?平行四邊形，②兩組對邊分別相等的四邊形?平行四邊形，③一組對邊平行且相等的四邊形?平行四邊形，④兩組對角分別相等的四邊形?平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形?平行四邊形．