Question

矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P，Q是對(duì)角線BD上不重合的兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AD，AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F，點(diǎn)Q關(guān)于直線BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)G、H．若由點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形恰好為菱形，則PQ的長(zhǎng)為
（　�。�

• A、2.8
• B、4.2
• C、5.6
• D、7

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定

專題：

分析：根據(jù)軸對(duì)稱求出AE=AF=AP，求出A、B、C、D都在菱形EFGH的邊上，求出OA=AP=5，根據(jù)勾股定理求出ON，求出OP、OQ，即可得出答案．

解答：
解：矩形ABCD中，AB=8，AD=6，由勾股定理得：AC=BD=10，
如圖，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得：∠PAF+∠PAE=90°+90°=180°，
即A在菱形EFGH的邊EF上，
同理B、C、D都在菱形EFGH的邊上，
∵AP=AF=AE，即A為EF的中點(diǎn)，
同理C為GH的中點(diǎn)，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴AF=CG，AF∥CG，
∴四邊形AFGC是平行四邊形，
∴FG=AC=10，
∵AE=AF=AP，
∴AP=5，
∵AO=

1

2

AC=5，
∴AO=AP，
∴△APO是等腰三角形，
過A作AN⊥BD于N，
則N為OP的中點(diǎn)，
在Rt△DAB中，由三角形的面積公式得：AN×AB=×AD×AB，
∴AN=4.8，
由勾股定理得：ON=

52-4．82

=1.4，
則OP=2.8，
同理OQ=2.8，
所以PQ=2.8+2.8=5.6，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)解題是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，但有一定的難度．