Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的正方形OCBA，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，把正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α 度后得到正方形OC₁B₁A₁（ 0＜α＜90）﹒
（1）直線OB的表達(dá)式是y=x；
（2）在直線OB上找一點(diǎn)P（原點(diǎn)除外），使△PB₁A₁為等腰直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），（$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$），（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 （1）先求出OA=OB=OC=BC=2，即可得出點(diǎn)B坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線解析式；
（2）分三種情況用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴OA=AB=BC=OC=2，
∴B（2，2），
設(shè)直線OB解析式為y=kx，
∴2k=2，
∴k=1，
∴直線OB解析式為y=x，
故答案為：y=x；
（2）如圖1，

由（1）知，∠AOB=∠COB=45°，
①當(dāng)直角頂點(diǎn)為A₁時(shí)，點(diǎn)B₁在y軸上，
∴∠P₁B₁BA=45°，
∴B₁P₁⊥y軸，
∴B₁P₁=OB₁=OB=2$\sqrt{2}$，
∴P₁（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）；
②如圖2，

當(dāng)直角頂點(diǎn)為B₁時(shí)，點(diǎn)C₁，B₁，P₂在同一條直線上，
∴C₁P₂=B₁C₁+B₁P₂=B₁C₁+A₁B₁=4，
根據(jù)勾股定理得，OP₂=$\sqrt{O{{C}_{1}}^{2}+{C}_{1}{{P}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
過(guò)點(diǎn)P₂作P₂⊥OA，
∵∠AOB=45°，
∴OH=P₂H=$\frac{O{P}_{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴P₂（$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$），
③如圖3，

當(dāng)直角頂點(diǎn)為P₃時(shí)，連接OB₁，∠OB₁P₃=∠OB₁A₁+∠A₁B₁P₃=90°，
在Rt△A₁B₁P₃中，B₁P₃=$\frac{{B}_{1}{A}_{1}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△OB₁P₃中，OP₃=$\sqrt{O{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{{P}_{3}}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
同②的方法得出P₃（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
即：滿(mǎn)足條件的P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），（$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$），（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
故答案為：（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），（$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$），（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是正方形性質(zhì)，主要考查了正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出OP，畫(huà)出圖形是解本題的難點(diǎn)．