Question

11．如圖，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．點(diǎn)P在射線AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在射線DB上由點(diǎn)D出發(fā)沿射線DB方向運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度的2倍，當(dāng)t=1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s（x≠2），是否存在實(shí)數(shù)x，使△ACP與△BPQ全等？若存在，請(qǐng)畫(huà)出示意圖，將全等的三角形用符號(hào)表示出來(lái)，并直接寫(xiě)出相應(yīng)的x，t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)Q和P的運(yùn)動(dòng)速度結(jié)合時(shí)間可得AP=1cm，DQ=2cm，進(jìn)而可得BP=3，BQ=1，然后利用SAS判定△CAP≌△PBQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠APC=∠BQA，然后再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可推出∠APC+∠QPB=90°，進(jìn)而可得CP⊥PQ；
（2）此題要分3種情況分別討論，①若點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BN上，②若點(diǎn)P在BM上，點(diǎn)Q在BN上．

解答 （1）V_Q=2V_P=2m/s，
∵t=1s，
∴AP=1cm，DQ=2cm，
∴BP=AB-AP=3cm，BQ=BD-DQ=1cm，
在△CAP和△PBQ中$\left\{\begin{array}{l}{AC=BP}\\{∠A=∠PBQ=90°}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠APC=∠BQA，
∵∠BQP+∠QPB=90°，
∴∠APC+∠QPB=90°，
∴∠CPQ=180°-90°=90°，
∴CP⊥PQ；

（2）若點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BN上，
且△APC≌△BPQ，
如圖 1，t=2，x=3，

若點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BN上，
且△APC≌△BQP；

如圖2：t=1，x=4，△APC≌△BQP；

如圖3，若點(diǎn)P在BM上，點(diǎn)Q在BN上，t=7，x=$\frac{10}{7}$，△APC≌△BQP；
．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．