Question

11．如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，L為BC中點，LOVE為正方形且V在AC上，若BO=$\sqrt{3}$CE，BC=4，求正方形LOVE的面積．

Answer 1

分析 注意到∠VCL=$\frac{1}{2}$∠VEL，EV=EL，由此得出EC=EV=EL，過點O、E作BC垂線，垂足分別為H、G，則易證△OHL≌△LGE，從而算出OH=LG=GC=1，
設(shè)正方形的邊長為x，利用BH+HL=2建立方程，求出x的平方即可．

解答 解：∵∠VCL=$\frac{1}{2}$∠VEL，EV=EL，
∴點C在以E為圓心EV為半徑的圓周上，
即EC=EV=EL，
過點O、E作BC垂線，垂足分別為H、G，如圖，

則LG=GC，
∵∠HOL+∠OLH=90°=∠OLH+∠GLE，
∴∠HOL=∠GLE，
在△OHL和△LGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OHL=∠LGE}\\{∠HOL=∠GLE}\\{OL=LE}\end{array}\right.$
∴△OHL≌△LGE，
設(shè)正方形OLEV的邊長為x，則BO=$\sqrt{3}$x，
而OH=LG=CG=$\frac{1}{2}$CL=1，
∴$\sqrt{3{x}^{2}-1}+\sqrt{{x}^{2}-1}=2$，
解得x²=4±2$\sqrt{2}$，
∴正方形LOVE的面積為4-2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解無理方程等重要知識點，難度較大，是一個經(jīng)典幾何好題．觀察到∠VCL=$\frac{1}{2}$∠VEL，EV=EL，從而得出EC=EV=EL是解決本題的突破口和關(guān)鍵．