Question

14．如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點，OA=3，OB=4，OC=5，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段BO逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，連接AO′．則下列結(jié)論：
①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到；
②連接OO′，則OO′=4；
③∠AOB=150°；
④S_{四邊形AOBO′}=6+4$\sqrt{3}$．
其中正確的結(jié)論是①②③④．

Answer 1

分析 如圖，首先證明△OBO′為為等邊三角形，得到OO′=OB=4，故選項②正確；證明△ABO′≌△CBO，得到選項①正確；運用勾股定理逆定理證明△AOO′為直角三角形，求出∠AOB的度數(shù)，得到選項③正確；運用面積公式求出四邊形AOBO′的面積，可判斷選項④正確．

解答 解：如圖，連接OO′；
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，AB=CB；
由題意得：∠OBO′=60°，OB=O′B，
∴△OBO′為等邊三角形，∠ABO′=∠CBO，
∴OO′=OB=4；∠BOO′=60°，
∴選項②正確；
在△ABO′與△CBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABO′=∠CBO}\\{BO′=BO}\end{array}\right.$，
∴△ABO′≌△CBO（SAS），
∴AO′=OC=5，
△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到，
∴選項①正確；
在△AOO′中，∵3²+4²=5²，
∴△AOO′為直角三角形，
∴∠AOO′=90°，∠AOB=90°+60°=150°，
∴選項③正確；
∵${S}_{四邊形AOBO′}=\frac{1}{2}×{4}^{2}×sin60°$+$\frac{1}{2}×3×4$=$4\sqrt{3}+6$，
∴選項④正確．
綜上所述，正確選項為①②③④．
故答案為：①②③④．

點評 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理逆定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理逆定理等幾何知識點，這是靈活解題的基礎(chǔ)．