Question

9．如圖，已知A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，AD=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)（P點(diǎn)停止移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)）．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s），問
（1）四邊形APDQ的形狀可能為矩形嗎？如果能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間距離是10cm？
（3）分別連接DP、CP，△DPC可能為直角三角形嗎？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性質(zhì)得出當(dāng)AP=DQ時(shí)，四邊形APQD為矩形求出即可；
（2）設(shè)當(dāng)t秒時(shí)PQ=10cm，利用勾股定理得出即可；
（3）要使△PCD為直角三角形，必有點(diǎn)P到線段中點(diǎn)距離等于CD的一半即可解決問題．

解答 解：（1）四邊形APDQ的形狀有可能為矩形；
理由：如圖，

當(dāng)四邊形APQD為矩形，則AP=DQ，
即3t=16-2t，
解得：t=$\frac{16}{5}$．
答：當(dāng)$\frac{16}{5}$秒時(shí)四邊形APQD為矩形；
解：（2）如圖1，過點(diǎn)Q作ON⊥AB于點(diǎn)N，
設(shè)當(dāng)t秒時(shí)PQ=10cm，
則QC=2t，PN=16-5t，
故6²+（16-5t）²=100，
解得：t₁=$\frac{8}{5}$，t₂=$\frac{24}{5}$，
答：$\frac{8}{5}$秒或$\frac{24}{5}$秒時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm；
（3）△DPC有可能為直角三角形，
理由：如圖2，過矩形的邊CD中點(diǎn)M作MN⊥AB，連接PM，
∴MN=AD=6，AN=$\frac{1}{2}$AB=8，
要使△DPC為直角三角形，
∴PM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=8，
在Rt△PMN中，PN²=PM²-MN²，
∴PN²=64-36=28，
∴PN=2$\sqrt{7}$，
由運(yùn)動(dòng)知，AP=3t，
∴PN=|AP-AN|=|3t-8|=2$\sqrt{7}$，
∴t=$\frac{8±2\sqrt{7}}{3}$．
即：時(shí)間為$\frac{8±2\sqrt{7}}{3}$．時(shí)，△PCD是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形的綜合題，主要考查矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出點(diǎn)P到線段CD中點(diǎn)的距離等于CD的一半．