Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0），頂點(diǎn)為（1，2），則結(jié)論：
①abc＜0；②x=1時(shí)，函數(shù)的最大值是2；③a+2b+4c＜0；④2a=-b；⑤2c＞3b．其中
正確的結(jié)論有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開(kāi)口方向得到a＜0，由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1，則b=-2a＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方得c＞0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；
由于拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)②進(jìn)行判斷；
由于x=

1

2

時(shí)，y＞0，即

1

4

a+

1

2

b+c＞0，則a+2b+4c＞0，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；
根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1可得2a=-b，所以可對(duì)④進(jìn)行判斷；
利用拋物線過(guò)點(diǎn)（-1，0）得到a-b+c=0，而a=-

1

2

b，則-

1

2

b-b+c=0，變形得到2c=3b，則可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴x=1時(shí)，函數(shù)有大值2，所以②正確；
∵x=

1

2

時(shí)，y＞0，即

1

4

a+

1

2

b+c＞0，
∴a+2b+4c＞0，所以③錯(cuò)誤；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
∴2a=-b，所以④正確；
∵拋物線過(guò)點(diǎn)（-1，0），
∴a-b+c=0，
而a=-

1

2

b，
∴-

1

2

b-b+c=0，
∴2c=3b，所以⑤錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．