Question

18．如圖，點C是⊙O的直徑AB延長線上的一點，且有BO=BD=BC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若半徑OB=2，求△ACD的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，先證明△OBD為等邊三角形得到∠ODB=∠OBD=60°，再利用BD=BC得到∠BCD=∠BDC，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計算出∠BDC=$\frac{1}{2}$∠OBD=30°，所以∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）作DH⊥AB于H，在Rt△BHD中，利用正弦定義可計算出DH=$\sqrt{3}$，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵OB=BD，
而OB=OD，
∴OB=BD=OD，
∴△OBD為等邊三角形，
∴∠ODB=∠OBD=60°，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
而∠OBD=∠BCD+∠BDC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠OBD=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=60°+30°=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：作DH⊥AB于H，
在Rt△BHD中，∵sin∠HBD=$\frac{DH}{BD}$，
∴DH=2sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DH=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．