Question

10．如圖，MN表示一段筆直的高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓，已知點A到MN的距離為15米，BA的延長線與MN相交于點D，且∠BDN=30°，假設(shè)汽車在高速道路上行駛時，周圍39米以內(nèi)會受到噪音的影響．
（1）過點A作MN的垂線，垂足為點H，如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，當(dāng)汽車到達點P處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點H的距離為多少米？
（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板，當(dāng)汽車行駛到點Q時，它與這一排居民樓的距離QC為39米，那么對于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 （1）連接PA．在直角△PAH中利用勾股定理來求PH的長度；
（2）由題意知，隔音板的長度是PQ的長度．通過解Rt△ADH、Rt△CDQ分別求得DH、DQ的長度，然后結(jié)合圖形得到：PQ=PH+DQ-DH，把相關(guān)線段的長度代入求值即可．

解答 解：（1）如圖，連接PA．由題意知，AP=39m．在直角△APH中，PH=$\sqrt{A{P}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3{9}^{2}-1{5}^{2}}$=36（米）；

（2）由題意知，隔音板的長度是PQ的長度．
在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15$\sqrt{3}$（米）．
在Rt△CDQ中，DQ=$\frac{CQ}{sin30°}$=$\frac{39}{\frac{1}{2}}$=78（米）．
則PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-15$\sqrt{3}$≈114-15×1.7=88.5≈89（米）．
答：高架道路旁安裝的隔音板至少需要89米．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．