Question

14．如圖，PA、PB分別切⊙O于A、B，點C、M是⊙O上的點，∠AMB=60°，過點
C作的切線交PA、PB于E、F，△PEF的外心在PE上．已知PA=3，則AE的長為2$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 由切線長定理知：PA=PB，CE=CF，由△PEF的外心在PE上，知該三角形是直角三角形，由∠M=60°，可計算出∠P的度數(shù)，利用特殊角間關(guān)系，表示出AE、PE、PF、FB，利用EF=AE+BF可得方程，求出AE的長．

解答 解：連接OA、OB．
∵∠AMB=60°，
∴∠AOB=120°
∵PA、PB分別切⊙O于A、B，
∴PA=PB=3，∠OAP=∠OBP=90°，
在四邊形PAOB中，∠P=360°-∠PAO-∠AOB-∠OBP=60°
∵△PEF的外心在PE上，
∴△PEF是直角三角形，且∠PFE=90°．
在Rt△PEF中，∵∠P=60°，
∴PE=2PF，EF=$\sqrt{3}$PF．
設(shè)AE的長為x，則PE=3-AE=3-x，
則PF=$\frac{1}{2}$（3-x），EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x），BF=3-PF=$\frac{1}{2}$（3+x）
∵EF是⊙O的切線，
∴EA=EC，F(xiàn)C=FB．
∵EF=EC+FC=AE+BF
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x）=x+$\frac{1}{2}$（3+x），
∴x=2$\sqrt{3}$-3．

點評 本題考查了外接圓、切線長定理、60°角所在直角三角形的邊角關(guān)系、圓周角圓心角間關(guān)系及二次根式的相關(guān)計算，屬于綜合性較強的題目．表示出各個線段的長，并利用線段的和列出方程是解決本題的關(guān)鍵．