Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點落在函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象上，從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為（27，9）陰影三角形部分的面積從左向右依次為S₁、S₂、S₃…S_n，則第4個正方形的邊長是$\frac{27}{2}$S_n的值為$\frac{{3}^{4n-4}}{{2}^{4n-7}}$

Answer 1

分析 先根據(jù)陰影部分的面積等于一個等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個直角三角形的面積列式求解并根據(jù)結(jié)果的規(guī)律是陰影部分的面積是前一個正方形面積的一半．再根據(jù)直線解析式判斷出直線與x軸的夾角的正切值為$\frac{1}{2}$，從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是直角三角形，再根據(jù)點A的坐標求出正方形的邊長并得到變化規(guī)律表示出第2n個正方形的邊長，

解答 解：如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，正方形DEFG的邊長為B，
∴S_△ACF=S_△ACD+S_梯形ADEF-S_△CEF
=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$（a+b）×b-$\frac{1}{2}$（a+b）×b=$\frac{1}{2}$a²
∵正比例函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象與x軸交角的正切值為$\frac{1}{2}$，已知A的坐標為（27，9），
∴∴第3個正方形的邊長是9=9×（$\frac{3}{2}$）⁰
∴第4個正方形的邊長是$\frac{27}{2}$=9×$\frac{3}{2}$
同理可得第五個正方形的邊長為$\frac{81}{4}$=9×（$\frac{3}{2}$）²
第六個正方形的邊長$\frac{243}{8}$=9×（$\frac{3}{2}$）³
…
第2n-1個正方形的邊長9×（$\frac{3}{2}$）^2n-4
第2n個正方形的邊長9×（$\frac{3}{2}$）^2n-3
根據(jù)前面得到的規(guī)律，Sn=$\frac{1}{2}$×[9×（$\frac{3}{2}$）^2n-4]²=$\frac{{3}^{4n-4}}{{2}^{4n-7}}$

故答案為$\frac{27}{2}$，$\frac{{3}^{4n-4}}{{2}^{4n-7}}$．

點評 此題是一次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形面積的計算，解本題的關(guān)鍵是確定陰影部分面積等于前一個正方形的面積一半．