Question

14．如圖，在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它的一條角平分線，AP的垂直平分線EF與AP相交于點E，與BC的延長線相交于F，則AF的長為6．

Answer 1

分析 由AP是△ABC的一條角平分線，AP的垂直平分線EF與AP相交于點E，易證得∠FAC=∠B，即可證得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

解答 解：∵EF是AP的垂直平分線，
∴AF=PF，
∴∠FAP=∠FPA，
∵∠FAP=∠FAC+∠CAP，∠FPA=∠B+∠BAP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∴∠FAC=∠B，
∵∠AFC=∠BFA，
∴△AFC∽△BFA，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
設CF=2x，則AF=3x，BF=BC+CF=5+2x，
∴AF²=CF•BF，
∴（3x）²=2x（5+2x），
解得：x=2，
∴AF=6．
故答案為：6．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質．注意證得△AFC∽△BFA，利用方程思想求解是關鍵．