Question

在平面直角坐標系中，直線L：y=

1

3

x-

4

3

交坐標軸于A，B兩點（A點在x正半軸上，B點在y軸負半軸上），點C為（1，0），在直線L上是否存在點P，使得△POC為等腰三角形？若存在，求出所有可能的點，否則請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)函數(shù)解析式，可得直線上的點的坐標，根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論：①OP=PC，②OC=OP=1，③PC=OC=1，根據(jù)兩點間的距離，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：在直線L上存在點P，使得△POC為等腰三角形，
由P在直線L上，得P（a，

1

3

a-

4

3

）．
①當(dāng)OP=PC時，平方得（a-1）²+（

1

3

a-

4

3

）²=a²+（

1

3

a-

4

3

）²．
化簡，得2a=1，解得a=

1

2

，

1

3

a-

4

3

=-

7

6

，即P₁（

1

2

，-

7

6

）；
②當(dāng)OC=OP=1時，平方得a²+（

1

3

a-

4

3

）²=1．化簡得
10a²-8a+7=0，△=（-8）²-4×10×7=-216＜0，
不存在實數(shù)a，即P點不存在；
③當(dāng)PC=OC=1時，平方得（a-1）²+（

1

3

a-

4

3

）²=1．
化簡得5a²-13a+8=0．因式分解，得
（5a-8）（a-1）=0．
解得a=

8

5

或a=1．
當(dāng)a=1時，

1

3

a-

4

3

=-1，即P₂（1，-1）．
當(dāng)a=

8

5

時，

1

3

a-

4

3

=-

4

5

，即P₃（

8

5

，-

4

5

），
綜上所述：P₁（

1

2

，-

7

6

），P₂（1，-1），P₃（

8

5

，-

4

5

），使得△POC為等腰三角形．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用點在函數(shù)圖象上設(shè)出點的坐標，分類討論：①OP=PC，②OC=OP=1，③PC=OC=1，再解方程求出P點的坐標．