Question

8．已知平行于x軸的直線y=m（m≠0）與函數(shù)y=x和函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象分別交于點A和點B，在過A，B兩點且頂點在直線y=x上的拋物線中，若線段AB=$\frac{3}{2}$，試求出滿足條件的拋物線的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)題意設(shè)$A（m，m），B（\frac{1}{m}，m）$，根據(jù)$AB=|{m-\frac{1}{m}}|=\frac{3}{2}$，求得${m_1}=-\frac{1}{2}$，m₂=2，m₃=-2，m₄=$\frac{1}{2}$，從而求得A（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），B（-2，-$\frac{1}{2}$）或A（2，2），B（$\frac{1}{2}$，2），根據(jù)頂點在直線y=x上的拋物線中，得出頂點坐標為為$（-\frac{5}{4}，-\frac{5}{4}）$，$（\frac{5}{4}，\frac{5}{4}）$，利用待定系數(shù)法即可求得解析式．

解答 解：由題得$A（m，m），B（\frac{1}{m}，m）$，
∴$AB=|{m-\frac{1}{m}}|=\frac{3}{2}$，
當m-$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{2}$時，
解得${m_1}=-\frac{1}{2}$，m₂=2，
∴A（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），B（-2，-$\frac{1}{2}$）或A（2，2），B（$\frac{1}{2}$，2），
當m-$\frac{1}{m}$=-$\frac{3}{2}$時，
解得m₃=-2，m₄=$\frac{1}{2}$；
∴A（-2，-2），B（-$\frac{1}{2}$，-2）或A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（2，$\frac{1}{2}$），
當A（-2，-2），B（-$\frac{1}{2}$，-2）時，
頂點的橫坐標為=$\frac{-2-\frac{1}{2}}{2}$=-$\frac{5}{4}$，
∵頂點在直線y=x上，
∴拋物線的頂點坐標為$（-\frac{5}{4}，-\frac{5}{4}）$；
A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（2，$\frac{1}{2}$），
同理：求得拋物線的頂點坐標為$（\frac{5}{4}，\frac{5}{4}）$；
∴拋物線的解析式為$y=±\frac{4}{3}{（x+\frac{5}{4}）^2}-\frac{5}{4}$或$y=±\frac{4}{3}{（x-\frac{5}{4}）^2}+\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意列出等式，求得頂點坐標是本題的關(guān)鍵．