Question

概念：點(diǎn)P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的“理想距離”．已知O（0，0），A（

3

，1），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn)．

（1）根據(jù)上述概念，完成下面的問題（直接寫答案）
①當(dāng)m=2

3

，n=1時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的理想距離是

 

；
②當(dāng)m=2

3

，n=2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的理想距離為

 

；
③當(dāng)m=2

3

，若線段BC與線段OA的理想距離為

3

，則n的取值范圍是

 

．
（2）如圖3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為1的圓上，當(dāng)n≥1時(shí)，線段BC與線段OA的理想距離記為d，則d的最小值為

 

（說明理由）
（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為1，線段BC的中點(diǎn)為G，求點(diǎn)G隨線段BC運(yùn)動(dòng)所走過的路徑長是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意畫出線段BC圖象易知．
（2）由n≥1即B點(diǎn)在過A平行于x軸直線的上方，又B落在圓心為A，半徑為1的圓上，此時(shí)B只能沿上半圓運(yùn)動(dòng)，設(shè)從平行線與圓A的交點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，則過程中d開始由小變大，恰為B點(diǎn)到線段OA的距離，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至過A的OA垂線與圓交點(diǎn)時(shí)，d恰為圓A半徑1，繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，d始終為圓A半徑1，則討論最小情形即可．
（3）動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為1，根據(jù)前兩問，BC線段的運(yùn)動(dòng)軌跡易知．討論其上G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度，可以轉(zhuǎn)化為B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，畫出圖象，利用平移圖象等性質(zhì)將圖中非直線軌跡平移拼湊，易得規(guī)則圖象，則路徑長可求．

解答：解：（1）①

3

．
分析如下：

如圖1，理想距離為線段AB，由AB∥x軸，故AB=2

3

-

3

=

3

．

②2．
分析如下：

如圖2作輔助線，AB記為理想距離．此時(shí)，AD=

3

，BD=1，所以由勾股定理，AB=2．

③-1≤n≤1．
分析如下：

如圖3，若理想距離為

3

，則以點(diǎn)A為圓心，

3

為半徑畫圓，⊙A內(nèi)部不能包含線段BC的點(diǎn)，由B點(diǎn)橫坐標(biāo)為2

3

，所以BC線段只能為從B為（2

3

，1）的線段向下平移至C為（2

3

，1）線段過程中所有的線段，如此n的范圍-1≤n≤1．

（2）

1

2

．
理由如下：

如圖4，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交⊙A于B，過點(diǎn)B作BD⊥OA于D．
由n≥1，且B點(diǎn)在圓上，則運(yùn)動(dòng)過程中，此時(shí)BC到OA的理想距離最小，即為BD．
過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，
在Rt△AOE中，
∵A（

3

，1），
∴OE=

3

，AE=1，
∴OA=2=2AE，
∴∠AOE=30°．
∵AB∥OE，
∴∠BAD=∠AOE=30°，
在Rt△ABD中，
∵AB=1，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

．

（3）如圖所示：

依題意，如圖5，過A作OA的垂線交⊙A于B₁、E，過點(diǎn)A作x軸的平行線交⊙A的右半弧與B₂，以O(shè)為圓心，作同⊙A同半徑的圓，交x軸于B₇，過O作OA的垂線交⊙O于B₈、F，以B₂、E、F、B₇分別向下2個(gè)單位長度，記為B₃、B₄、B₅、B₆．
則若動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為1，線段BC的點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)為：
從B₁沿劣弧

B1B2

運(yùn)動(dòng)至B₂；再垂直x軸向下沿B₂B₃運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位到B₃；
再由B₃運(yùn)動(dòng)到B₄，此時(shí)因?yàn)镃點(diǎn)恰從B₂沿劣弧

B2E

運(yùn)動(dòng)到E，所以B₃運(yùn)動(dòng)到B₄的軌跡路程=

B2E

；
再由B₄運(yùn)動(dòng)到B₅，此時(shí)因?yàn)镃點(diǎn)恰從E沿線段EF運(yùn)動(dòng)到F，所以B₄運(yùn)動(dòng)到B₅的軌跡路程=EF；
再由B₅運(yùn)動(dòng)到B₆，此時(shí)因?yàn)镃點(diǎn)恰從F沿劣弧

FB7

運(yùn)動(dòng)到B₇，所以B₅運(yùn)動(dòng)到B₆的軌跡路程=

FB7

；
再垂直x軸向上沿B₆B₇，運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位到B₇；從B₇沿劣弧

B7B8

運(yùn)動(dòng)至B₈；最后沿線段B₈B₁回到B₁．
∵C在B上方2個(gè)單位長度，G為線段BC的中點(diǎn)，
∴G在B上方1個(gè)單位長度，
∴B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡向上平移1個(gè)單位長度得G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，
∴G隨線段BC運(yùn)動(dòng)所走過的路徑長=B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所走過的路徑長=

B1B2

+B₂B₃+

B2E

+EF+

FB7

+B₆B₇+

B7B8

+B₈B₁．
∵⊙A的半徑=⊙O的半徑=

3

，
∴C_⊙A=C_⊙O=2•π•1=2π，
∴

B1B2

+

B2E

=

1

2

•C_⊙A=π，

FB7

+

B7B8

=

1

2

•C⊙O=π．
∵B₈B₁=EF=OA=2，B₂B₃=2，B₆B₇=2，
∴

B1B2

+B₂B₃+

B2E

+EF+

FB7

+B₆B₇+

B7B8

+B₈B₁=B₂B₃+EF+B₃+B1B2^+

B2E

+B₆B₇+B₈B₁+

FB7

+

B7B8

=2+2+π+2+2+π=8+2π，
∴G隨線段BC運(yùn)動(dòng)所走過的路徑長為8+2π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的理解能力和創(chuàng)新能力，題中通過介紹“理想距離”來引出學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)圖象理想距離的識(shí)別，這是新課標(biāo)要求我們掌握的技能．在深度理解理想距離定義、特點(diǎn)后難度并不高，并且再討論運(yùn)動(dòng)路徑的時(shí)候需要學(xué)生動(dòng)手作圖理解運(yùn)動(dòng)過程，是一道非常值得學(xué)生鍛煉的題目．