Question

14．已知x₁，x₂是方程2x²-5x+1=0的兩個實根，不解方程，求下列各式的值：
（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（2）|x₁-x₂|．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．
（1）利用因式分解的方法得到原式=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，然后利用整體代入的方法計算；
（2）根據(jù)完全平方公式得到原式=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，然后利用整體代入的方法計算．

解答 解：∵x₁，x₂是方程2x²-5x+1=0的兩個實根，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$．
∴（1）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{\frac{25}{4}-1}{\frac{1}{2}}$$\frac{21}{2}$；
（2）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{25}{4}-2}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

點評 此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．