Question

15．已知，在△ABC中，∠C=90°，斜邊的長(zhǎng)為7.5，兩條直角邊的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x²-3（m+$\frac{1}{2}$）x+9m=0的兩個(gè)根，則△ABC的內(nèi)切圓面積是$\frac{9}{4}$π．

Answer 1

分析 設(shè)兩直角邊為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=3（m+$\frac{1}{2}$），ab=9m，根據(jù)勾股定理得出a²+b²=7.5²，求出m，即可直角三角形的內(nèi)切圓的半徑，求出面積即可．

解答 解：設(shè)兩直角邊為a、b，
∵兩條直角邊的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x²-3（m+$\frac{1}{2}$）x+9m=0的兩個(gè)根，
∴a+b=3（m+$\frac{1}{2}$），ab=9m，
∵直角三角形的斜邊為7.5，
∴a²+b²=7.5²，
∴（a+b）²-2ab=$\frac{225}{4}$，
∴9（m+$\frac{1}{2}$）²-18m=$\frac{225}{4}$，
解得：m=-2或3，
經(jīng)檢驗(yàn)m=-2不合題意，即m只能為3，
∴a+b=$\frac{7}{2}$，
∵直角三角形的內(nèi)切圓的半徑r=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
∴r=$\frac{3}{2}$，
∴△ABC的內(nèi)切圓的面積為$\frac{9}{4}$π，
故答案為：$\frac{9}{4}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓，勾股定理，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能求出m的值是解此題的關(guān)鍵．