Question

如圖，在銳角△ABC的BC邊上有兩點E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M、N是垂足），延長AE交△ABC的外接圓于點D．
證明：四邊形AMDN與△ABC的面積相等．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),四點共圓

專題：證明題

分析：根據(jù)FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，得到A，M，D，N四點共圓，得到MN⊥AD，再用兩角對應(yīng)相等證明兩三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對應(yīng)邊的比相等證明四邊形的面積與三角形的面積相等．

解答：證明：如圖：連接BD，
∵FM⊥AB于點M，F(xiàn)N⊥AC于點N，
∴A，M，F(xiàn)，N四點共圓，
∴∠AMN=∠AFN，
∴∠AMN+∠BAE=∠AFN+∠CAF=90°，
即MN⊥AD，
∴S_{四邊形AMDN}=

1

2

AD•MN，
∵∠CAF=∠DAB，∠ACF=∠ADB，
∴△AFC∽△ABD，
∴AF：AB=AC：AD，
∴AB•AC=AD•AF，
∵AF是過A、M、F、N四點的圓的直徑，
∴

MN

sin∠BAC

=AF，
∴AF•sin∠ABC=MN，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC=

1

2

AD•AF•sin∠BAC=

1

2

AD•MN=S_{四邊形AMDN}．
∴S_△ABC=S_{四邊形AMDN}．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)兩角對應(yīng)相等可以得到兩組相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對應(yīng)邊的比相等，得到線段乘積的形式，證明四邊形的面積與三角形的面積相等．