Question

13．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S₁，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S₂，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S₉的值為（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$）⁶
• B． （$\frac{1}{2}$）⁷
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁶
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁷

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出S₂+S₂=S₁，寫(xiě)出部分S_n的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-3”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：在圖中標(biāo)上字母E，如圖所示．

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，△CDE為等腰直角三角形，
∴DE²+CE²=CD²，DE=CE，
∴S₂+S₂=S₁．
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S₁=2²=4，S₂=$\frac{1}{2}$S₁=2，S₃=$\frac{1}{2}$S₂=1，S₄=$\frac{1}{2}$S₃=$\frac{1}{2}$，…，
∴S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-3．
當(dāng)n=9時(shí)，S₉=（$\frac{1}{2}$）^9-3=（$\frac{1}{2}$）⁶，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律“S_n=（$\frac{1}{2}$）^n-3”．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，寫(xiě)出部分S_n的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．