Question

2．如圖，在△ABC中，AB=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是4cm/s，點(diǎn)Q從C向A運(yùn)動(dòng)，速度是3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，（0＜x≤5）
（1）當(dāng)x=$\frac{10}{3}$時(shí)，PQ∥BC，
（2）在（1）的條件下S_△BCQ：S_△ABC=1：3；S_△BPQ：S_△ABC=2：9；
（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△APQ與△CQB能否相似，若能求出對(duì)應(yīng)的x值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先用含x的式子表示出AP和AQ的長(zhǎng)，由$\frac{AP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$列方程求解即可；
（2）先求得AP，PB的長(zhǎng)，從而得到AP：AB=AQ：QC=2：3，然后依據(jù)△BQC和△ABC為等高的三角形，從而可得到S_△BCQ：S_△ABC=QC：AC，同理可得到S_△ABQ=$\frac{2}{3}$S_△ACB，S_△BPQ=$\frac{1}{3}$S_△ABQ，故可求得S_△BPQ：S_△ABC的值；
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論．已知∠A和∠C對(duì)應(yīng)相等，那么就要分成AP和CQ對(duì)應(yīng)成比例以及AP和BC對(duì)應(yīng)成比例兩種情況來(lái)求x的值．

解答 解：（1）由題意可知AP=4x，QC=3x，則AQ=30-3x．
∵當(dāng)$\frac{AP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$時(shí)，PQ∥BC，
∴$\frac{4x}{30-3x}=\frac{20}{30}$，解得：x=$\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．
（2）∵x=$\frac{10}{3}$，
∴AP=$\frac{40}{3}$，PB=20-$\frac{40}{3}$=$\frac{20}{3}$．
∴AP：PB=AQ：QC=2：1．
∴QC：AC=1：3．
∴S_△BQC=$\frac{1}{3}$S_△ACB．
∴S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∵AQ：AC=2：3，
∴S_△ABQ=$\frac{2}{3}$S_△ACB．
∵AP：AB=2：3，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{3}$S_△ABQ=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$S_△ACB=$\frac{2}{9}$S_△ACB，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9，
故答案為：1：3；2：9．
（3）情況1：當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，CQ：AP=BC：AQ，即$\frac{3x}{4x}=\frac{20}{30-3x}$，解得x=$\frac{10}{9}$，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=$\frac{10}{9}$是原分式方程的解．
情況2：當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，CQ：AQ=BC：AP，即$\frac{3x}{30-3x}=\frac{20}{4x}$，解得x=5，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原分式方程的解．
綜上所述：當(dāng)x=$\frac{10}{9}$或x=5時(shí)，△APQ與△CQB相似．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的綜合應(yīng)用，解答本題需要同學(xué)們熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理，找出圖形中等高的三角形的是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，分類(lèi)討論是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．