Question

1．觀察等式49=4×9+4+9．
（1）求出所有其他兩位數，它們的大小等于其數字之積加上其數字之和．
（2）求證：沒有這樣的三位數，它們的大小等于其數字之積加上其數字之和．

Answer 1

分析 根據有理數的乘法，即可解答．

解答 解：（1）由10a+b=ab+a+b，得b=9，
所以，只要個位數為9的兩位數都合條件，其它還有19，29，39，59，69，79，89，99．
（2）假設存在，則100a+10b+c=abc+a+b+c，得99a+9b=abc，即9（11a+b）=abc，
于是a，b，c中至少有一個為9，或至少有兩個為3．
若a=9，則11a+b=bc，即99=b（c-1），顯然不可能；
若b=9，則11a+b=ac，即（11-c）a+9=0，顯然不可能；
若c=9，則11a+b=ab，即（11-b）a+b=0，顯然不可能．
若a=b=3，則11a+b=c，即36=c，顯然不可能；
若a=c=3，則11a+b=b，即33=0，顯然不可能；
若b=c=3，則11a+b=a，即33+b=0，顯然不可能．
綜上，沒有這樣的三位數，它們等于其數字之積加上其數字之和．

點評 本題考查了有理數的乘法，解決本題的關鍵是熟記有理數的乘法．