Question

12．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x+6的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C是直線AB上的一點(diǎn)，它的坐標(biāo)為（m，4），經(jīng)過點(diǎn)C作直線CD∥x軸交y軸于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；
（2）已知點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)．
請(qǐng)從A、B兩個(gè)題目中任選一題作答．
A．①若△POC的面積為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若△POC上直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
B．①若△PAB的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若△PAB是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把（m，4）代入y=2x+6得2m+6=4，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出AB的長(zhǎng)．
（2）A：①利用三角形的面積公式求出PC的長(zhǎng)即可解決問題．注意兩解．
②分兩種情形討論即可①P是直角頂點(diǎn)，②O是直角頂點(diǎn)．
B：①利用三角形的面積公式求出PC的長(zhǎng)即可解決問題．
②利用兩圓一線可得滿足條件的點(diǎn)有5個(gè)，分別求解即可．

解答 解：（1）把（m，4）代入y=2x+6得2m+6=4，
∴m=-1，
∴C（-1，4），
在Rt△AOB中，OA=3，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

（2）A：①∵OD⊥CP，
∴S_△POC=$\frac{1}{2}$•CP•OD=4，
∵OD=4，CP=2，
∴P₁（-3，4），P₂（1，4）．

②∵∠OCP一定不是直角，
∴當(dāng)∠OPC=90°時(shí)，點(diǎn)P恰好在點(diǎn)D，
∴P₁（0，4）．
∵直線OC的解析式為y=-4x，
∴直線OP的解析式為y=$\frac{1}{4}$x，
∴y=4時(shí)，x=16，
∴P₂（16，4）．

B：①∵OB⊥CP，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$•CP•OB=6，
∵OB=6，
∴CP=2，
∴P₁（-3，4），P₂（1，4）．

②如圖，由圖中的兩圓一些線可知滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為P₁（-$\sqrt{29}$-3，4），P₂（$\sqrt{29}$-3，4），P₃（-$\frac{7}{2}$，4），P₄（$\sqrt{41}$，4），P₅（-$\sqrt{41}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、兩直線的位置關(guān)系、直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．線段的垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．