Question

13．如圖，在?ABCD中，P是對角線BD上的任意一點，過點P作EF∥BC，分別與AB，CD相交于點E，F；過點P再作GH∥AB，分別與AD，BC相交于點G，H，圖中有幾個平行四邊形？其中哪幾對平行四邊形面積相等？為什么？

Answer 1

分析 由平行四邊形的判定方法容易得出圖中的平行四邊形有9個；由平行四邊形的一條對角線可以把平行四邊形分成兩個全等的三角形，面積相等，得出S_?AEPG=S_?HCFP，得出S_?ABHG=S_?BCFE，S_?AEFD=S_?HCDG．

解答 解：圖中有9個平行四邊形；其中有3對對平行四邊形面積相等S_?ABHG=S_?BCFE，S_?AGPE=S_?HCFP，S_?AEFD=S_?HCDG．
理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴圖中的平行四邊形有：?ABCD，?ABHG，?GHCD，?AEFD，?BCFE，?AEPG，?BHPE，?PFDG，?PHCF共9個．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S_△ABD=S_△CBD．
∵BP是平行四邊形BEPH的對角線，
∴S_△BEP=S_△BHP，
∵PD是平行四邊形GPFD的對角線，
∴S_△GPD=S_△FPD．
∴S_△GPD=S_△FPD．
∴S_△ABD-S_△BEP-S_△GPD=S_△BCD-S_△BHP-S_△PFD，
即S_?AEPG=S_?HCFP，
∴S_?ABHG=S_?BCFE，
同理S_?AEFD=S_?HCDG．
即：S_?ABHG=S_?BCFE，S_?AGPE=S_?HCFP，S_?AEFD=S_?HCDG．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形的面積；熟練掌握平行四邊形的判定方法，熟記平行四邊形的一條對角線可以把平行四邊形分成兩個全等的三角形是解決問題的關鍵．