Question

4．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為△ABC外一點，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延長線于E，求證：DE=AE+BC．

Answer 1

分析 連接CD，證明△BCD≌△ACD，得到∠BCD=∠ACD，求出∠ACD=45°，再根據(jù)DE⊥AC，得到∠CDE=∠ACD=45°，進(jìn)而證明CE=DE，即可解答．

解答 解：如圖，連接CD，

在△BCD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{DB=AD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACD，
∴∠BCD=∠ACD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=∠ACD=45°，
∴CE=DE，
∴DE=AE+AC=AE+BC．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明連接CD，證明△BCD≌△ACD．