Question

設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，BC=AC+AI，∠ABC-∠ACB=12°，則∠BAC=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明BG=AI，此為解決該題的核心結(jié)論；證明∠BAC=2∠ABC，結(jié)合已知條件、三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．

解答：解：如圖，在BD上截取DG=AD，連接GI；
設(shè)點(diǎn)D、E、F分別為△ABC內(nèi)切圓的切點(diǎn)，
則AD=AE（設(shè)為λ），BD=BF（設(shè)為μ），CE=CF（設(shè)為η）；
DI⊥AG；而AD=DG，
∴DI為AG的垂直平分線，
∴GI=AI；
∵BC=AC+AI，即μ+η=λ+η+AI，
∴μ-λ=AI，即BG=AI，
∴BG=GI=AI，
∴∠GBI=∠GIB（設(shè)為α），∠AGI=∠GAI（設(shè)為β）；
∵∠AGI=∠GBI+∠GIB=2α，
∴∠GAI=∠AGI=β=2α；
∵∠BAC=2β，∠ABC=2α，
∴∠BAC=2∠ABC，而∠ABC-∠ACB=12°，
∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC=96°，
故答案為96°．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用內(nèi)切圓的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷．