Question

10．若D為等腰直角三角形ABC的BC邊上任一點，且DE⊥AD，BE⊥AB．
（1）求證：△ADE是等腰直角三角形；
（2）如圖，當(dāng)D在CB上任意運動時，若BC=a，過B作BM⊥BC交AE于M，現(xiàn)給二個結(jié)論：①∠BMD的度數(shù)不變：②BD+BM+DM值不變，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，請你判斷哪一個結(jié)論正確，證明正確的結(jié)論，并求其值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，在線段CA取一點F，使得CF=CD．只要證明△ADF≌△DEB．即可推出AD=DE；
（2）②正確．如圖2中，作AG⊥BM交BM的延長線于G，在BG 的延長線上截取GH=CD．首先證明四邊形ACBG是正方形，再證明△MAH≌△MAD，推出DM=KM，由HM=GM+HG=GM+CD，推出DM=CD+GM．推出BD+BM+DM=BD+BM+CD+MG=BC+BG=2BC=2a即可；

解答 （1）證明：如圖1中，在線段CA取一點F，使得CF=CD．

∵∠C=90°，CF=CD，AC=CB，
∴AF=DB，∠CFD=∠CDF=45°，
∴∠AFD=135°，
∵BE⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠ABE=90°，
∴∠DBE=135°，
∴∠AFD=∠DBE，
∵AD⊥DE，
∴∠ADE=90°，
∵∠FAD+∠ADC=90°，∠ADC+∠BDE=90°，
∴∠FAD=∠BDE，
在△ADF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠BDE}\\{AF=DB}\\{∠AFD=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DEB．
∴AD=DE，
∵∠ADE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形．

（2）解：②正確．
理由：如圖2中，作AG⊥BM交BM的延長線于G，在BG 的延長線上截取GH=CD．

∵∠C=∠CBG=∠AGB=90°，
∴四邊形ACBG是矩形，
∵AC=CB，
∴四邊形ACBG是正方形，
∴AC=AG，∠ACD=∠AGH=90°，
∴△ACD≌△AGH，
∴AD=AH，∠GAH=∠CAD，
∵∠DAE=45°，
∴∠MAH=∠MAG+∠GAH=∠MAG+∠CAD=45°，
∴∠MAD=∠MAH，∵M(jìn)A=MA，
∴△MAH≌△MAD，
∴DM=KM，
∵HM=GM+HG=GM+CD，
∴DM=CD+GM．
∴BD+BM+DM=BD+BM+CD+MG=BC+BG=2BC=2a．
∴BD+BM+DM的值是定值．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．