Question

19．如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．
（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，連結(jié)AD，求⊙O的半徑和AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形；
（2）連接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證明△ADC∽△AFD，得出AD²=AC•AF，進而求出AD．

解答 （1）證明：如圖1，連接OD、OE、ED．
∵BC與⊙O相切于一點D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°=∠C，
∴OD∥AC，
∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OE，
∴△AOE是等邊三角形，
∴AE=AO=0D，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∵OA=OD，
∴四邊形AODE是菱形．
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r．
∵OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$，即10r=6（10-r）．
解得r=$\frac{15}{4}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{15}{4}$．
如圖2，連接OD、DF．
∵OD∥AC，
∴∠DAC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DAC=∠DAO，
∵AF是⊙O的直徑，
∴∠ADF=90°=∠C，
∴△ADC∽△AFD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AD}$，
∴AD²=AC•AF，
∵AC=6，AF=$\frac{15}{4}×2=\frac{15}{2}$，
∴AD²=$\frac{15}{2}$×6=45，
∴AD=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是一個綜合題，難度中等．熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．