Question

15．如圖，正方形ABCD中，AB=1，點E、F分別是邊BC、CD上的兩點，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH．以下結論正確的是①②④．
①AG=1；②△CEF的周長是定值，定值是2；③DF²+BE²=EF²；④DN²+BM²=MN²．

Answer 1

分析 由正方形的性質得AB=AD=1，∠BAC=∠ADC=∠ABC=90°，于是可把△ADF繞點A順時針旋轉90°可得到△ABP，如圖，根據(jù)旋轉得性質得AP=AF，BP=DF，∠ABP=∠ADC=90°，∠PAF=∠BAD=90°，易得點P在CB的延長線上，再證明△AEP≌△AEF得到EP=EF，根據(jù)全等三角形的對應邊上的高相等得到AG=AB=1，可對①進行判斷；所以EF=EP=BE+BP=BE+DF，則可對③進行判斷；同時可計算出△CEF的周長=2，則可對②進行判斷；連結NH，如圖，根據(jù)正方形的性質得∠ABD=∠ADB=45°，再根據(jù)旋轉的性質得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABM=45°，∠MAH=90°，由于∠MAN=45°，則∠NAH=45°，可計算出∠NDH=90°，根據(jù)勾股定理得DN²+DH²=NH²，則DN²+BM²=NH²，然后證明△ANM≌△ANH得到MN=NH，則可對④進行判斷．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=1，∠BAC=∠ADC=∠ABC=90°，
∴把△ADF繞點A順時針旋轉90°可得到△ABP，如圖，
∴AP=AF，BP=DF，∠ABP=∠ADC=90°，∠PAF=∠BAD=90°，
∴∠ABP+∠ABC=180°，即點P在CB的延長線上，
∵∠EAF=45°，
∴∠PAE=45°，
在△AEP和△AEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠PAE=∠EAF}\\{AP=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△AEF，
∴EP=EF，
∵AG⊥EF，AB⊥EP，
∴AG=AB=1，所以①正確；
∵EF=EP=BE+BP=BE+DF，所以③錯誤；
∴△CEF的周長=EF+CE+CF=BE+EC+CF+DF=CB+CD=1+1=2，所以②正確；
連結NH，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABM=45°，∠MAH=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠NAH=45°，
∴∠NDH=45°+45°=90°，
∴DN²+DH²=NH²，
∴DN²+BM²=NH²，
在△ANM和△ANH中
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AN}\\{∠MAN=∠HAN}\\{AM=AH}\end{array}\right.$，
∴△ANM≌△ANH，
∴MN=NH，
∴DN²+BM²=MN²，所以④正確．
故答案為①②④．

點評 本題考查了本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質和正方形的性質．