Question

6．如圖，△ABC是直角三角形，∠C=90°．
（1）請(qǐng)作出△ABC的內(nèi)切圓（⊙O尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）設(shè)（1）中作出的⊙O與邊AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，BC=8，AC=6，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）首先由三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，確定圓心，然后作邊的垂線，確定半徑，繼而可求得△ABC的內(nèi)切圓；
（2）由三角形的面積等于其內(nèi)切圓的半徑與周長積的一半，即可求得△ABC的內(nèi)切圓的半徑．

解答 解：（1）如圖所示：⊙O即為所求；

（2）設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×6×8=24，AB+AC+BC=24，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）r，
∴r=$\frac{{2S}_{△ABC}}{AB+AC+BC}$=$\frac{2×24}{24}$=2．
∴⊙O的面積=4π．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了作圖--復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點(diǎn)．