Question

如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD與CE相交于點F，延長CE到點G，使CG=AB，若∠BCE=45°，求證：點F、點G關(guān)于AB對稱．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),軸對稱的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接AF，由BD⊥AC，CE⊥AB得到一對角為直角，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABD與三角形ACE相似，得到∠ACE=∠ABD，再由一對直角相等，且夾邊BE=CE，利用ASA得到三角形BEF與三角形ACE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=EF，再由AE=GE，等量代換得到GE=EF，再由AB垂直于GF，即可得到點F、點G關(guān)于AB對稱．

解答：證明：連接AF，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠AEG=90°，
∵∠AEC=∠ADB=90°，∠CAE=∠BAD（公共角相等），
∴△ACE∽△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BCG=45°，
∴△AEG與△EBC都為等腰直角三角形，
∴AE=GE，BE=CE，
在△BEF和△CEA中，

∠BEF=∠AEC=90° BE=CE ∠ABD=∠ACE

，
∴△BEF≌△CEA（ASA），
∴EF=EA，
又∵GE=AE，
∴GE=EF，
又∵CE⊥AB，
∴F、G關(guān)于AB對稱．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．