Question

已知，如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CE=CD．
（1）求證：BD=DE；
（2）若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，試求△DCE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）欲證BD=DE，只需證∠DBE=∠E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可證明∠DBE=∠E=30°．
（2）作DM⊥BE于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得BD=

3

2

BC=2

3

，進(jìn)而求得DM=

3

，BE=6，根據(jù)三角形面積公式即可求得．

解答：證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，BD是AC邊的中線，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=

1

2

∠ABC=30°．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E．
∵∠ACB=60°，且∠ACB為△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E=60°．
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴BD=DE．
（2）作DM⊥BE于M，
∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，
∴BD=

3

2

BC=2

3

，
∵∠DBE=∠DEB=30°，
∴DM=

3

，BM=

3

2

BD=3，
∴BE=2BM=6，
∴△DCE的面積=

1

2

BE•DM=

1

2

×6×

3

=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識(shí)．此類已知三角形邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．