Question

9．如圖，線段AB的長為20，點D在AB上，△ACD是邊長為8的等邊三角形，過點D作與CD垂直的射線DP，過DP上一動點G（不與D重合）作矩形CDGH，記矩形CDGH的對角線交點為O，連接OB，則線段BO的最小值為（　�。�

• A． 10
• B． 6
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連接AO，根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：OC=OD，再證明△ACO≌△ADO，則∠OAB=30°；點O一定在∠CAB的平分線上運動，根據(jù)垂線段最短得：當OB⊥AO時，OB的長最小，根據(jù)直角三角形30度角所對的直角邊是斜邊的一半得出結(jié)論．

解答 解：連接AO，
∵四邊形CDGH是矩形，
∴CG=DH，OC=$\frac{1}{2}$CG，OD=$\frac{1}{2}$DH，
∴OC=OD，
∵△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
在△ACO和△ADO中$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AO=AO}\\{CO=DO}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB=∠CAO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴點O一定在∠CAB的平分線上運動，所以當OB⊥AO時，OB的長最小，
∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×20=10（cm），
即OB的最小值為10cm，
故選：A．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，利用了矩形對角線相等且平分的性質(zhì)得對角線的一半相等，為三角形全等用鋪墊；另外還利用了垂線段最短解決了求最值問題．