Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx（a≠0）與直線y=x交于M（3，m），且拋物線的對稱軸是直線y=2，點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，原點(diǎn)O關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)是點(diǎn)A，過點(diǎn)A作垂直于x軸的直線交直線y=x于點(diǎn)B．
（1）期拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，△PAB的面積是S，請寫出S與n之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在點(diǎn)P的位置，使△PAB是等腰三角形？如果存在，請求出所有n的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把M（3，m）代入y=x中求出m得到M（3，3），再把M點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx得9a+3b=3，則b=1-3a，然后利用對稱軸方程得到b=-4a，則1-3a=-4a，于是求出a和b，從而得到拋物線解析式；
（2）P（n，-n²+4n），則Q（n，0），利用對稱性得到A（2n，0），則B（2n，2n），然后利用三角形面積公式求解；
（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式得到PB²=n²+（n²-2n）²，PA²=n²+（n²-4n）²，AB²=4n²，然后討論：當(dāng)PB=AB時，n²+（n²-2n）²=4n²，當(dāng)PA=AB時，n²+（n²-4n）²=4n²，當(dāng)PA=PB時，n²+（n²-2n）²=n²+（n²-4n）²，再分別解關(guān)于n的方程即可得到滿足條件的n的值．

解答 解：（1）把M（3，m）代入y=x得m=3，則M（3，3），
把M（3，3）代入y=ax²+bx得9a+3b=3，則b=1-3a，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=2，
∴b=-4a，
∴1-3a=-4a，解得a=-1，
∴b=4，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x；
（2）P（n，-n²+4n），則Q（n，0），
∵原點(diǎn)O關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)是點(diǎn)A，
∴A（2n，0），
而AB⊥x軸，
∴B（2n，2n），
∴S=$\frac{1}{2}$•n•2n=n²（0＜n＜4）；
（3）∵P（n，-n²+4n），A（2n，0），B（2n，2n）（0＜n＜4）；
∴PB²=（n-2n）²+（-n²+4n-2n）²=n²+（n²-2n）²，PA²=（n-2n）²+（-n²+4n）²=n²+（n²-4n）²，AB²=4n²，
當(dāng)PB=AB時，n²+（n²-2n）²=4n²，解得n=0（舍去）或n=2+$\sqrt{3}$或n=2-$\sqrt{3}$；
當(dāng)PA=AB時，n²+（n²-4n）²=4n²，解得n=4+$\sqrt{3}$（舍去）或n=4-$\sqrt{3}$；
當(dāng)PA=PB時，n²+（n²-2n）²=n²+（n²-4n）²，解得n=0（舍去）或n=3
綜上所述，n的值為2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$或4-$\sqrt{3}$或3．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會利用分類討論的數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問題．