Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=$\frac{1}{4}$x²+k交y軸于點(diǎn)C，A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)C為OD的中點(diǎn)，AB=2OD．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，求$\frac{EF}{DE}$的值．

Answer 1

分析 （1）用k表示點(diǎn)B坐標(biāo)得到（2k，2k），代入拋物線(xiàn)解析式求出k即可．
（2）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²+1），求出EF、DE（用k表示），即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）由題意點(diǎn)C坐標(biāo)（0，k），
∵OC=CD，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2k），
∵AB=20D，A、B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（2k，2k），
∴2k=$\frac{1}{4}$•（2k）²+k，
∴k=1或0（舍棄），
∴拋物線(xiàn)解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+1．
（2）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²+1），
∵EF⊥x軸，D（0，2）
∴EF=$\frac{1}{4}$m²+1，
DE=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴DE=EF，
∴$\frac{EF}{DE}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用參數(shù)表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考�？碱}型．