Question

10．已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AB、DC的中點，P、Q分別是DM、BN的中點．
（1）求證：DM=BN；
（2）四邊形MPNQ是怎樣的特殊四邊形，請說明理由；
（3）矩形ABCD的邊長AB與AD滿足什么長度關系時四邊形MPNQ為正方形，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質和中點的定義，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四邊形MPNQ是菱形，連接AN，有（1）可得到BM=DN，再有中點得到PM=NQ，再通過證明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三角形中位線的性質可得：MP=MQ，進而證明四邊形MQNP是菱形；
（3）利用對角線相等的菱形是正方形即可．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.$
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四邊形MPNQ是菱形．
理由如下：連接AP，MN，
則四邊形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
則A，P，N在同一條直線上，
易證：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分別是BM、DN的中點，
∴PM=NQ，
在△MQD和△NPB中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=BN}\\{∠MDQ=∠NBP}\\{DQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四邊形MPNQ是平行四邊形，
∵M是AD中點，Q是DN中點，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AN，
∴MQ=$\frac{1}{2}$BM，
∵MP=$\frac{1}{2}$BM，
∴MP=MQ，
∴平行四邊形MQNP是菱形；
（3）當AD=2AB時，四邊形MQNP是正方形；
如圖1，連接PQ，
∵PQ⊥MN．AD⊥MN，
∴PQ∥AD，
∵點P是BM的中點，
∴AD=2PQ，
∵AD=2AB，
∴PQ=AB，
∵MN=AB，
∴MN=PQ，
由（2）知，四邊形MQNP是菱形；
∴菱形MQNP是正方形．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質、正方形的性質，全等三角形的判定和全等三角形的性質、三角形中位線定理以及平行四邊形的判定和菱形的判定方法，判斷出四邊形MQNP是菱形是解本題的關鍵，屬于基礎題目．