Question

13．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=$\frac{1}{2}$x+2交于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn) C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，$\frac{7}{2}$）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在直線BC上部的拋物線上運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）如圖2，連接PC，PB，BC，根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在拋物上，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²+$\frac{7}{2}$m+2），則PE=-m²+$\frac{7}{2}$m+2，OE=m，BE=4-m，OC=2，OB=4，根據(jù)S_△PCB=S_梯形OCPE+S_△PBE-S_△OBC確定二次函數(shù)，求得當(dāng)m=2時(shí)有最值．
（3）本問(wèn)采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解．將直線y=$\frac{1}{2}$x+2沿y軸向上或向下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值．

解答 解：（1）在直線解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）．
∵點(diǎn)C（0，2）、D（3，$\frac{7}{2}$）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴c=2，
-9+3b+c=$\frac{7}{2}$，
解得b=$\frac{7}{2}$，c=2，
∴拋物線的解析式為y=-${x}^{2}+\frac{7}{2}x+2$；
（2）如圖2，連接PC，PB，BC，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在拋物線y=-${x}^{2}+\frac{7}{2}x$+2上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²+$\frac{7}{2}$m+2），
當(dāng)y=0時(shí)，即$-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2=0$，
解得：${x}_{1}=-\frac{1}{2}，{x}_{2}=4$，
則PE=-m²+$\frac{7}{2}$m+2，OE=m，BE=4-m，OC=2，OB=4，
∴S_△PCB=S_梯形OCPE+S_△PBE-S_△OBC
=$\frac{1}{2}$[（PE+OC）•OE+BE•PE-OB•OC]
=$\frac{1}{2}$[（-m²+$\frac{7}{2}$m+2+2）•m+（-m²+$\frac{7}{2}$m+2+）（4-m）-2×4]
=-2m²+8m
=-2（m-2）²+8，
∴當(dāng)m=2時(shí)，△PBC的面積最大；
（2）∵PF∥OC，且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴PF=OC=2，
∴將直線y=$\frac{1}{2}$x+2沿y軸向上、下平移2個(gè)單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．
由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個(gè)．
將直線y=$\frac{1}{2}$x+2沿y軸向上平移2個(gè)單位，得到直線y=$\frac{1}{2}$x+4
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2}\end{array}\right.$
解得x₁=1，x₂=2，
∴m₁=1，m₂=2；
將直線y=$\frac{1}{2}$x+2沿y軸向下平移2個(gè)單位，得到直線y=$\frac{1}{2}$x
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2}\end{array}\right.$
解得x₃=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（在y軸左側(cè)，不合題意，舍去），
∴m₃=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
∴當(dāng)m為值為1，2或$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．第（2）問(wèn)采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解．