Question

16．如圖（1），菱形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)O是四邊形EFGH對(duì)角線FH的中點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在四邊形EFGH的邊EF、FG、GH、HE上．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如圖（2）若四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC與FH重合時(shí)，已知$\frac{AC}{BD}=2$，且菱形ABCD的面積是20，求矩形EFGH的長(zhǎng)與寬．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出OA=OC，OD=OB，再由中點(diǎn)的性質(zhì)可得出OF=OH，結(jié)合對(duì)頂角相等即可利用全等三角形的判定定理（SAS）證出△AOF≌△COH，從而得出AF∥CH，同理可得出DH∥BF，依據(jù)平行四邊形的判定定理即可證出結(jié)論；
（2）設(shè)BD=m（m＞0），則AC=2m，結(jié)合矩形的面積為20即可求出m=2$\sqrt{5}$，進(jìn)而得出AC、BD的長(zhǎng)度，再由勾股定理即可得出AB的長(zhǎng)度，由四邊形EFGH為矩形即可得出△AOB∽△AGC，根據(jù)相似比即可得出$\frac{OB}{CG}=\frac{OA}{AG}=\frac{AB}{AC}$，代入數(shù)據(jù)，此題得解．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，
∴OA=OC，OD=OB，
∵點(diǎn)O是線段FH的中點(diǎn)，
∴OF=OH．
在△AOF和△COH中，有$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOF=∠COH}\\{OF=OH}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COH（SAS），
∴∠AFO=∠CHO，
∴AF∥CH．
同理可得：DH∥BF．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）設(shè)BD=m，則AC=2m，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=m²=20，
∴m=2$\sqrt{5}$，
即BD=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，OA=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=5．
∵四邊形EFGH為矩形，
∴∠G=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△AGC，
∴$\frac{OB}{CG}=\frac{OA}{AG}=\frac{AB}{AC}$，
∴CG=4，AG=8．
∴矩形EFGH的長(zhǎng)為8，寬為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定及性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）找出AF∥CH、DH∥BF；（2）找出關(guān)于m的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過(guò)程叫繁瑣，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系是關(guān)鍵．