Question

18．如圖，M、N分別是平行四邊形ABCD的對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，且AD=2AB，連接AN、DN、BM、CM，交點(diǎn)分別為P、Q．請(qǐng)判斷四邊形PMQN是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 首先證得四邊形AMCN與四邊形BNDM是平行四邊形，繼而可證得四邊形PMQN為平行四邊形，四邊形ABNM是菱形，又由AN⊥BM，則可得四邊形PMQN是矩形．

解答 解：四邊形PMQN是矩形；
證明：連接MN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴AM∥CN，AM=CN，
∴四邊形AMCN為平行四邊形，
∴QM∥PN．
同理，四邊形BNDM為平行四邊形，
PM∥QN，
∴四邊形PMQN為平行四邊形，
∵AD∥BC，AD=BC，M、N是AD、BC中點(diǎn)，
∴AM∥BN，AM=BN=$\frac{1}{2}$AD，
∴四邊形ABNM是平行四邊形，
又∵AD=2AB，
∴AB=AM，
∴平行四邊形ABNM是菱形，
∴AN⊥BM，
即∠MPN=90°，
∴平行四邊形PMQN為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了菱形及矩形的判定，應(yīng)根據(jù)所要證明的結(jié)論進(jìn)行合理推理，解題的關(guān)鍵是了解矩形的判定方法，難度中等．