Question

10．△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，AC=6，BC=2$\sqrt{10}$，過圓心O作OD⊥BC交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，則AD的長為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由勾股定理的逆定理得出∠BAC=90°，證出BC為⊙O的直徑，得出OD=OB=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{10}$，作OM⊥BC于M，ON⊥OD于N，則四邊形OMAN是矩形，得出AN=OM，ON=AM，由射影定理得出AB²=BM•BC，求出BM=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，得出AN=OM=OB-BM=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，由勾股定理求出AM=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，得出ON=AM=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，DN=OD-ON=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，再由勾股定理求出AD即可．

解答 解：∵AB=2，AC=6，BC=2$\sqrt{10}$，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
∴BC為⊙O的直徑，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{10}$，
作OM⊥BC于M，ON⊥OD于N，如圖所示：
∵OD⊥BC，
∴四邊形OMAN是矩形，
∴AN=OM，ON=AM，
∵∠BAC=90°，AM⊥BC，
∴由射影定理得：AB²=BM•BC，
即2²=2$\sqrt{10}$×BM，
解得：BM=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴AN=OM=OB-BM=$\sqrt{10}$-$\frac{\sqrt{10}}{5}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴ON=AM=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴DN=OD-ON=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$；
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外接圓與圓心、勾股定理以及勾股定理的逆定理、圓周角定理、矩形的判定與性質(zhì)、射影定理等知識；本題這一切，有一定難度，證明BC是直徑是解決問題的關(guān)鍵．