Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，角平分線BE、CD交于點F，求證：DF=EF．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：作出圖形，根據(jù)三角形的三條角平分線相交于同一點判斷出點F在∠A的平分線上，過點F作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得FG=FH，求出∠FDG=∠FEH=75°，然后利用“角角邊”證明△DFG和△EFH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．

解答：證明：如圖，∵角平分線BE、CD交于點F，
∴點F在∠A的平分線上，
過點F作FG⊥AB于G，作FH⊥AC于H，
則FG=FH，
∵BE、CD都是角平分線，∠ABC=30°，
∴∠FDG=180°-（90°-30°）-

1

2

×90°=75°，
∠FEH=（90°-30°）+

1

2

×30°=75°，
∴∠FDG=∠FEH=75°，
在△DFG和△EFH中，

∠FDG=∠FEH ∠EHF=∠DGF=90° FG=FH

，
∴△DFG≌△EFH（AAS），
∴DF=EF．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于根據(jù)度數(shù)求出相等的角．