Question

20．如圖，已知AB=12，點(diǎn)C，D在AB上，且AC=DB=2，點(diǎn)P從點(diǎn)C沿線(xiàn)段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止），以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫(huà)等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，連接EF，取EF的中點(diǎn)G，下列說(shuō)法中正確的有（　　）
①△EFP的外接圓的圓心為點(diǎn)G；②四邊形AEFB的面積不變；
③EF的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4；④△EFP的面積的最小值為8．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點(diǎn)，則G的運(yùn)行軌跡為三角形HCD的中位線(xiàn)MN．再求出CD的長(zhǎng)，運(yùn)用中位線(xiàn)的性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)度即可確定③正確；又由G為EF的中點(diǎn)，∠EPF=90°，可知②錯(cuò)誤．根據(jù)直角三角形兩直角邊的差越大，直角三角形的面積越小，可求得答案．

解答 解：如圖，
分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H．
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，
∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，
∴四邊形EPFH為平行四邊形，
∴EF與HP互相平分．
∵G為EF的中點(diǎn)，
∴G也為PH中點(diǎn)，
即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PH的中點(diǎn)，
∴G的運(yùn)行軌跡為△HCD的中位線(xiàn)MN．
∵CD=12-2-2=8，
∴MN=4，即G的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為4．
故③EF的中點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4，正確；
∵G為EF的中點(diǎn)，∠EPF=90°，
∴①△EFP的外接圓的圓心為點(diǎn)G，正確．
∴①③正確．
∵點(diǎn)P從點(diǎn)C沿線(xiàn)段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止），易證∠EPF=90°，所以四邊形面積便是三個(gè)直角三角形的面積和，設(shè)cp=x，則四邊形面積S=$\frac{{x}^{2}-8x+124}{4}$
∴AP不斷增大，
∴四邊形的面積S也會(huì)隨之變化，故②錯(cuò)誤．
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∠EPF=90°，
AP=$\sqrt{2}$PE，BP=$\sqrt{2}$PF，
當(dāng)AP=AC=2時(shí)，即PE=$\sqrt{2}$，PF=5$\sqrt{2}$，
S_△PEF最小=$\frac{1}{2}$PE•PF=5，故④錯(cuò)誤；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形外接圓的知識(shí)以及三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也很復(fù)雜，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．此題屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，是中考的熱點(diǎn)．