Question

1．兩張大小相同的正方形紙片如圖所示重疊放在一起，重疊部分是一個(gè)凸八邊形ABCDEFGH，對(duì)角線AE、CG分這個(gè)八邊形為四個(gè)小的凸四邊形，請(qǐng)你證明：AE⊥CG，AE=CG．

Answer 1

分析 注意到兩個(gè)正方形是相同的，過點(diǎn)A作AM⊥DE于M，AN⊥EF于N，于是AM=AN，從而∠AED=∠AEF，同理∠CGH=∠CGF，過C作CP⊥FG于P，證明△CGP≌△AEM即可．

解答 證明：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥DE于M，AN⊥EF于N，過C作CP⊥FG于P，

由兩個(gè)正方形相同可知：CP=AM=AN，
∴∠AEM=∠AEN，
同理∠CGH=∠CGF，
又∠RGF=∠TEF，
∴∠DEF=∠HGF，
∴∠AEM=∠CGP，
在△CGP和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGP=∠AEM}\\{∠CPG=∠AME=90°}\\{CP=AM}\end{array}\right.$，
∴△CGP≌△AEM（AAS），
∴CG=AE，
∵CP⊥AM，
∴CG⊥AE．
綜上所述，AE⊥CG，AE=CG．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，一道經(jīng)典幾何題．根據(jù)兩個(gè)正方形相同觀察出A到DE和EF的距離相等是解決本題的重要突破口和關(guān)鍵．