Question

12．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．按下列步驟作圖：分別以A、B為圓心，以大于$\frac{1}{2}$AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點P和Q作直線PQ，分別交AC于點D，交AB于點E；連接BD．則下列結(jié)論中：①AD=BD，②∠CBD=30°③BC=$\frac{1}{2}$AB；④S_△ABC=4S_△BCD正確的個數(shù)有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)作已知線段的垂直平分線可對①進行判斷；利用∠DBA=∠CBD=30°可對②進行判斷；利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可對③進行判斷；通過證明△DCB≌△DEB≌△DEA，可對④進行判斷．

解答 解：①用作法可得PQ垂直平分AB，則AD=BD，故此選項正確；
②因為DA=DB，則∠A=∠DBA=30°，則∠CBD=30°，故此選項正確；
③∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，故此選項正確；
④由以上可得：
在△DCB和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BED}\\{∠CBD=∠DBE}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴△DCB≌△DEB（AAS），
在△ADE和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{∠AED=∠BED}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDE（SAS），
故△DCB≌△DEB≌△DEA，
∴S_△ABC=3S_△BCD，故此選項錯誤．
故選：C．

點評 本題考查了作圖-基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線．