Question

15．問題探究
（1）如圖①，邊長為4的等邊△OAB位于平面直角坐標系中，將△OAB沿過P（2，$\sqrt{3}}$）的直線折疊，使點B落在x軸上，則B的對應(yīng)點B'有1個，其坐標為（2，0）；
（2）如圖②，長方形OABC位于平面直角坐標系中，其中OA=8，AB=6．將長方形OABC沿過P（8，2）的直線折疊，使點B落在x軸上，則B的對應(yīng)點B'的坐標為（8-2$\sqrt{3}$，0）或（8+2$\sqrt{3}$，0）．
問題解決
（3）如圖③，四邊形OABC位于平面直角坐標系中，其中OA=AB=8，BC=4，BC∥OA，AB⊥OA于點A．將四邊形OABC沿過P（5，3）的直線折疊，使點B落在x軸上，問是否存在過點P且與線段OC相交的折痕，若存在，求出折痕與OC的交點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作BH⊥OA于H．只要證明點P在線段BH上，且PB=PH=$\sqrt{3}$，由此得出結(jié)論點B′與點H重合，即可解決問題．
（2）如圖2中，點B的對應(yīng)點有B′和B″兩個，分別利用勾股定理即可解決問題．
（3）存在．求出直線OC的解析式，再求出折痕的解析式，利用方程組即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作BH⊥OA于H．

∵△ABC是等邊三角形，OA=OB=AB=4，
∴OH=AH=2，BH=OH•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∵P（2，$\sqrt{3}$），
∴點P在線段PH上，且PB=PH，
∵將△OAB沿過P（2，$\sqrt{3}}$）的直線折疊，使點B落在x軸上，
∴PB=PB′，
∴點B′與點H重合，
∴B′（2，0），
故答案為1，（2，0）；

（2）如圖2中，點B的對應(yīng)點有B′和B″兩個，

∵PB=PB′=PB″=4，
在Rt△PAB′和Rt△PAB″中，AB′=AB″=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴B′（8-2$\sqrt{3}$，0），B″（8+2$\sqrt{3}$，0）；
故答案為（8-2$\sqrt{3}$，0）或（8+2$\sqrt{3}$，0）；

（3）存在．理由如下：
如圖3中，點B的對應(yīng)點有B′和B″兩個，作PE⊥AB于E，PF⊥OA于F．

∵P（5，3），
∴PF=3，OF=5，AF=PE=AE=3，BE=5，
∵PB=PB′=PB″，PE=PF，
∴△PBE≌△PB′F≌△PB″F，
∴FB′=FB″=EB=5，
∴B′與O重合，B″（10，0），
∵C（4，8），
∴直線OC的解析式為y=2x，
∵B（8，8），
∴直線OB的解析式為y=x，設(shè)折痕與OC交于點G，與BB′交于點H，
∵H（4，4），
∴直線GH的解析式為y=-x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-x+8}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴折痕GH與OC的交點G坐標（$\frac{8}{3}$，$\frac{16}{3}$），
∵B（8，8），B″（10，0），
∴直線BB″的解析式為y=-4x+40，設(shè)折痕與OC交于點N，與BB″交于點M，
∵M（9，4），
∴直線MN的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{7}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴折痕MN與OC的交點N坐標為（1，2）．
綜上所述，折痕與OC的交點坐標為（$\frac{8}{3}$，$\frac{16}{3}$）或（1，2）；

點評 本題考查幾何變換、等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求兩個函數(shù)的交點坐標，屬于中考壓軸題．